学习与科研的三重境界

学习与科研在方法上是相通的，你不懂得怎么学习就注定不懂得将来怎么做研究。最重要的一点是喜欢，千万别勉强自己，假如你因为不了解或者其它迫不得已的原因走上了你不喜欢走的路，最好在适当的时候逃之夭夭，不会有人怪你，至少我不会责怪逃离我的学生。前几天，一位大牌教授参加丘成桐数学竞赛面试后告诉我，P大的学生素质就是好，有一个学生几乎囊括了所有的金牌，只有代数一门课程得了个银牌。有人问丘先生：“你学生时代有这么厉害吗？”丘先生笑笑：“我没这么厉害。”我对这位教授说：“你何不将之收罗门下？”他说：“这样的学生我可不敢要，怕误人子弟，他应该出去，跟一个大家，将来真说不定搞个菲尔兹奖。”教授问北大的一些学生：“你们都怎么学出来的？”学生回答：“我们都是自己学。”我相信，如果不喜欢，绝不会有主动学习的积极性。我感叹道：“虽说大家对应试教育诟病不断，但不管是什么样的教育，真正聪明又用功的学生总会名列前茅，只不过应试教育扼杀了很多学生的创造力，把孩子教傻了。”所以我说的三重境界是有前提的，那就是喜欢。

第一重境界：模仿。不管是学习还是研究，模仿可能都是个必经的过程，例如你学习了一个新概念、新定理，如何运用它解决问题，通常老师或书本会告诉你一些例子和基本的运用方法，然后你再按照老师或书本教你的方法试着做一些题，这就是模仿。

科研也有这个过程，没有人生来就会创新，总得先懂得怎么做研究。例如，你可能通过阅读别人的文章，从文章中寻找一些问题：定理的条件是不是可以减弱？可不可以得到更强的条件？能不能将这种方法运用到别的地方？只要你的结果是新的，并且有哪怕是一点点与众不同的突破，你的模仿都是有意义的。研究生在初学研究时一般都是这么做。

第二重境界：攻坚。当你掌握了基本理论与基本的运用技巧之后，就要学会面对那些陌生并且有些难度的问题，以微积分为例，如果你真想学好这门课，不仅至少要看三四套中外不同版本的教材，工科学生可以看一看斯蹄沃或托马斯微积分，那里面有很多实际问题，有助于你学会怎样运用微积分。数学专业的学生可以读一读克莱鲍尔的《数学分析》或菲赫金哥尔兹的《数学分析原理》，同时尽可能将吉米多维奇的《数学分析习题集》做一遍，虽说我们反对题海战术，但学习数学的最好方法就是做数学（哈尔莫斯语），适当的做题是必须的。

科研的攻坚就是解决未解决难题，通常都是众所周知的问题，即Open Problem。钻研这类问题是有风险的，不成功便成仁，有位老师一辈子专攻庞加莱猜测，最终一事无成，要是生在今天，恐怕教授都评不上。外尔斯为了费马大定理耗费了八年的时间，最近的张益堂更不用说了。有时候，解决一个著名的问题不一定要创造新的理论或方法，例如泛函分析里关于正规算子的著名福格莱德（Fuglad）定理实际上并没有用到什么前所未有的工具。除了那些Open Problem，也可以自己去寻找一些有价值的问题。这些问题不是简单的模仿能够解决的，通常需要你运用新的方法，或者综合运用一些已有的方法才能解决。

第三重境界：创新。这是最难的，学习也有创新式的学习，这就是源于书本又不囿于书本，要善于发散式思维，例如当你在大学一年级学习《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》时，大多数同学都是把它当成相互独立的几门课程来学，你能不能发现这些课程之间的内在关系？你能不能比这些课程中的相关概念与定理想得更多？

科研的第三重境界就是想前人所未想，但这些想法又不是空中楼阁，通常都是因为对已有的理论具备了深刻的洞察力之后才能发现一些新的东西。陈省身号称微分几何之父，他首次将纤维丛概念运用到微分几何中，提出了重要的陈示性类概念，将几乎走向死胡同的微分几何救活了，这就是整体微分几何理论的建立。我想陈先生建立起整体微分几何绝不是拍拍脑袋凭空想出来的。泛函分析的思想可以追溯到很久以前的傅里叶分析与变分法。所谓原创并非指无中生有，而是在前人积累的基础上发现并提出了一种新理论或者新方法。可惜能达到第三重境界者凤毛麟角，大多数真正的研究者能达到第二重境界已算不错了。

原创性的理论分两种，一种是具有重要科学价值的理论，另一种是游戏理论，有人也把后者称为伪科学。如何判断真科学与伪科学？这不是本文探讨的话题，否则必招来一地鸡毛。

来源：科学网 曹广福